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In algebraic number theory, the Hilbert cl … In algebraic number theory, the Hilbert class field E of a number field K is the maximal abelian unramified extension of K. Its degree over K equals the class number of K and the Galois group of E over K is canonically isomorphic to the ideal class group of K using Frobenius elements for prime ideals in K. In this context, the Hilbert class field of K is not just unramified at the finite places (the classical ideal theoretic interpretation) but also at the infinite places of K. That is, every real embedding of K extends to a real embedding of E (rather than to a complex embedding of E).(rather than to a complex embedding of E).
, 代数的整数論において，数体 K のヒルベルト類体（英: Hilbert class … 代数的整数論において，数体 K のヒルベルト類体（英: Hilbert class field）E とは，K の最大アーベル不分岐拡大である．その K 上の次数は K の類数に等しく，E の K 上のガロワ群は K の素イデアルに対するフロベニウス元を用いて K のイデアル類群に自然に同型である． この文脈では，K のヒルベルト類体は（古典的なイデアル論的解釈で）有限素点おいて不分岐であるだけでなく，K の無限素点においても不分岐である．つまり，K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み（複素埋め込みではなく）に拡張する．り，K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み（複素埋め込みではなく）に拡張する．
, En théorie algébrique des nombres, le corp … En théorie algébrique des nombres, le corps de Hilbert H(K) d'un corps de nombres algébriques K est l'extension abélienne non ramifiée maximale de ce corps de nombres. Cet objet doit son nom au mathématicien allemand David Hilbert. Son étude est à la fois une étape importante, et un archétype, pour la théorie des corps de classes : via l'isomorphisme de réciprocité (symbole d'Artin) de la correspondance du corps de classes, le groupe de Galois Gal(H(K)/K) est isomorphe au groupe des classes du corps K. Le corps de Hilbert H(K) est en particulier une extension finie de K. La ramification des places à l'infini peut être admise : on parlera alors de « corps de Hilbert au sens restreint ». Pour chaque nombre premier p, on peut aussi considérer la sous-p-extension maximale de H(K), qu'on appellera p-corps de Hilbert, noté Hp(K), dont le groupe de Galois sera isomorphe au p-sous-groupe de Sylow du groupe des classes. Une propriété importante de l'extension H(K)/K est que tout idéal premier du corps K devient principal en tant qu'idéal du corps H(K). On parle de capitulation. La possibilité ainsi offerte de réaliser le groupe des classes d'un corps comme groupe de Galois d'une extension dont les propriétés arithmétiques sont fonctoriellement stables a d'importantes conséquences pour l'étude de ces groupes de classes. La théorie d'Iwasawa, qui donne des formules asymptotiques pour le cardinal du p-sous-groupe de Sylow du groupe des classes est un exemple spectaculaire. Une question classique concernant le p-corps de Hilbert est le problème des tours de Hilbert. Considérant successivement les extensions Hi+1p(K)=Hp(Hip(K)), obtient-on toujours à la limite une extension finie ? Le mathématicien russe Igor Chafarevitch et son étudiant Evgeny Golod, répondirent par la négative à cette question en 1964, grâce au théorème de théorie des groupes maintenant appelé théorème de Golod-Chafarevitch.
* Arithmétique et théorie des nombresch.
* Arithmétique et théorie des nombres
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代数的整数論において，数体 K のヒルベルト類体（英: Hilbert class … 代数的整数論において，数体 K のヒルベルト類体（英: Hilbert class field）E とは，K の最大アーベル不分岐拡大である．その K 上の次数は K の類数に等しく，E の K 上のガロワ群は K の素イデアルに対するフロベニウス元を用いて K のイデアル類群に自然に同型である． この文脈では，K のヒルベルト類体は（古典的なイデアル論的解釈で）有限素点おいて不分岐であるだけでなく，K の無限素点においても不分岐である．つまり，K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み（複素埋め込みではなく）に拡張する．り，K のすべての実埋め込みは E の実埋め込み（複素埋め込みではなく）に拡張する．
, In algebraic number theory, the Hilbert cl … In algebraic number theory, the Hilbert class field E of a number field K is the maximal abelian unramified extension of K. Its degree over K equals the class number of K and the Galois group of E over K is canonically isomorphic to the ideal class group of K using Frobenius elements for prime ideals in K. In this context, the Hilbert class field of K is not just unramified at the finite places (the classical ideal theoretic interpretation) but also at the infinite places of K. That is, every real embedding of K extends to a real embedding of E (rather than to a complex embedding of E).(rather than to a complex embedding of E).
, En théorie algébrique des nombres, le corp … En théorie algébrique des nombres, le corps de Hilbert H(K) d'un corps de nombres algébriques K est l'extension abélienne non ramifiée maximale de ce corps de nombres. Cet objet doit son nom au mathématicien allemand David Hilbert. Son étude est à la fois une étape importante, et un archétype, pour la théorie des corps de classes : via l'isomorphisme de réciprocité (symbole d'Artin) de la correspondance du corps de classes, le groupe de Galois Gal(H(K)/K) est isomorphe au groupe des classes du corps K. Le corps de Hilbert H(K) est en particulier une extension finie de K.t en particulier une extension finie de K.
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| rdfs:label |
ヒルベルト類体
, Hilbert class field
, Corps de classes de Hilbert
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