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Le tourbillon potentiel (TP) est un concep … Le tourbillon potentiel (TP) est un concept conservatif de dynamique des fluides qui décrit la valeur du tourbillon dans une masse de fluide (généralement l'air ou l'océan) dans une colonne comprise entre deux surfaces isentropes adjacentes. Un déplacement depuis une latitude standard arbitraire vers une autre, réduit ou étire l'épaisseur de la colonne afin de conserver le tourbillon potentiel et cette valeur permet ainsi d'identifier les caractéristiques de la masse et de suivre son déplacement. Le tourbillon potentiel est utilisé en météorologie et en océanographie pour décrire le mouvement vertical dans l'atmosphère et l'océan. C'est un concept servant à déterminer la cyclogénèse (formation des dépressions atmosphériques le long des fronts) et dans l'analyse des flux océaniques. Par exemple, la physique du mistral dans le sud-est de la France a longtemps été mal comprise car il est contre-intuitif que le temps soit ensoleillé à Marseille avec un vent violent de nord-ouest alors qu'à Nice un vent fort d'est souffle avec de la pluie. L'explication de ce phénomène découle du théorème de conservation du tourbillon potentiel et de son importance physique.n potentiel et de son importance physique.
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2009
, 2014
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Sylvie Malardel
, Ian N. James
, Brian J. Hoskins
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Advancing Weather and Climate Science Series
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La démonstration est principalement basée … La démonstration est principalement basée sur la référence de Hoskins. Cependant, cette référence fait l'hypothèse que l'atmosphère est barotrope ce qui n'est pas nécessaire. L'extension du domaine de validité de la preuve est basée sur celle de Malardel.
On raisonne dans un référentiel galiléen. On considère un cylindre infiniment petit de base δ S et de hauteur δ h dont la base est parallèle à la surface de température potentielle.
On intègre le tourbillon sur la base du cylindre d'aire δ S. On a donc :
:
Soit la composante pseudo-verticale dudit vecteur . On a donc :
:
On utilise le théorème de Stokes. Soit le contour de la surface δ S. On a :
:
On définit la circulation . . On a donc :
:
On calcule la dérivée lagrangienne de la circulation de la parcelle d'air :
:
Soit le champ potentiel. On peut écrire :
On obtient donc :
:
Pour rendre la formule plus claire, on remplace par
On a donc:
:
Donc,
:
Donc,
:
On remarque que:
:
Donc,
:
Ensuite:
:
et donc finalement,
:
On utilise à nouveau le théorème de Stokes et pour toute application f bien définie, l'on a :
:. Donc,
:
On utilise encore le théorème de Stokes. On a donc :
:
On remarque que :
:
Le premier terme est nul et donc :
Ainsi,
:.
On note la relation suivante : . On remplace :
:.
On introduit l'astuce de la référence : on note que ne dépend que de p et ρ.
On a :
:
De même :
:
De même :
:
On obtient donc :
:
Le produit mixte supra est donc nul. Donc,
:
ce qui démontre que est constant.
La masse d'une parcelle d'air s'écrit pour un volume infiniment petit d'aire δ S et de hauteur δ h :
:
où ρ est la masse volumique de l'air.
La masse de la parcelle d'air ne varie pas au cours du temps.
Donc, le ratio
: est constant.
Donc,
est constant.
On remarque que : et ce à une excellente précision.
Donc,
:
Donc,
: est constant.
Comme δ h est infiniment petit, on a :
:
Comme le processus est adiabatique, même si δ h varie au cours du temps, et restent constants. Donc,
: est constant.
Cette quantité est appelé tourbillon potentiel .
On notera, qu'il n'y a pas eu besoin de supposer que le fluide est incompressible ou barotrope.le fluide est incompressible ou barotrope.
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Malardel
, Hoskins
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978
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en
, fr
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Midlatitudes
, Fondamentaux de météorologie
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Toulouse
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711
, 488
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Fondamentaux de météorologie, deuxième édition
, Fluid Dynamics of the Midlatitude Atmosphere
, Démonstration de l'invariance du tourbillon potentiel
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Le tourbillon potentiel (TP) est un concep … Le tourbillon potentiel (TP) est un concept conservatif de dynamique des fluides qui décrit la valeur du tourbillon dans une masse de fluide (généralement l'air ou l'océan) dans une colonne comprise entre deux surfaces isentropes adjacentes. Un déplacement depuis une latitude standard arbitraire vers une autre, réduit ou étire l'épaisseur de la colonne afin de conserver le tourbillon potentiel et cette valeur permet ainsi d'identifier les caractéristiques de la masse et de suivre son déplacement. de la masse et de suivre son déplacement.
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Potentielle Vortizität
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, Wirowość potencjalna
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