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In differential geometry, especially the t … In differential geometry, especially the theory of space curves, the Darboux vector is the angular velocity vector of the Frenet frame of a space curve. It is named after Gaston Darboux who discovered it. It is also called angular momentum vector, because it is directly proportional to angular momentum. In terms of the Frenet-Serret apparatus, the Darboux vector ω can be expressed as and it has the following symmetrical properties: which can be derived from Equation (1) by means of the Frenet-Serret theorem (or vice versa). Let a rigid object move along a regular curve described parametrically by β(t). This object has its own intrinsic coordinate system. As the object moves along the curve, let its intrinsic coordinate system keep itself aligned with the curve's Frenet frame. As it does so, the object's motion will be described by two vectors: a translation vector, and a rotation vector ω, which is an areal velocity vector: the Darboux vector. Note that this rotation is kinematic, rather than physical, because usually when a rigid object moves freely in space its rotation is independent of its translation. The exception would be if the object's rotation is physically constrained to align itself with the object's translation, as is the case with the cart of a roller coaster. Consider the rigid object moving smoothly along the regular curve. Once the translation is "factored out", the object is seen to rotate the same way as its Frenet frame. The total rotation of the Frenet frame is the combination of the rotations of each of the three Frenet vectors: Each Frenet vector moves about an "origin" which is the centre of the rigid object (pick some point within the object and call it its centre). The areal velocity of the tangent vector is: Likewise, Now apply the Frenet-Serret theorem to find the areal velocity components: so that as claimed. The Darboux vector provides a concise way of interpreting curvature κ and torsion τ geometrically: curvature is the measure of the rotation of the Frenet frame about the binormal unit vector, whereas torsion is the measure of the rotation of the Frenet frame about the tangent unit vector.renet frame about the tangent unit vector.
, Nella geometria differenziale, specialment … Nella geometria differenziale, specialmente nella teoria delle curve nello spazio, il vettore di Darboux è il vettore velocità angolare nel sistema di riferimento di Frenet di una curva nello spazio. Prende il nome dal suo ideatore Gaston Darboux. È pure chiamato vettore di momento angolare perché è direttamente proporzionale al momento angolare. In termini delle formule di Frenet-Serret, il vettore ω di Darboux può esprimersi con e possiede le seguenti proprietà di simmetria che possono venire estrapolate dalla equazione (1) per mezzo del teorema di Frenet-Serret (o viceversa). Un corpo rigido si muova lungo una curva regolare descritta da una funzione parametrica β(t). Questo corpo rigido possiede il suo proprio intrinseco sistema di coordinate. Mentre il corpo si muove lungo la curva, manteniamo il sistema di coordinate intrinseco allineato con il riferimento di Frenet della curva. Nell'effettuare ciò, il movimento del corpo verrà descritto da due vettori: un vettore traslatorio, ed un vettore rotazionale : che è il vettore velocità areolare: il vettore di Darboux. Si osservi che questa rotazione è cinematica, piuttosto che fisica, poiché quando un corpo rigido si muove liberamente nello spazio usualmente la sua rotazione è indipendente dalla sua traslazione. L'eccezione sarebbe se la rotazione del corpo fosse fisicamente vincolata ad allinearsi con la sua traslazione come nel caso del carrello di una montagna russa. Consideriamo il corpo rigido in movimento dolce lungo una curva regolare. Una volta che la traslazione sia accomunata, il corpo si vede ruotare come ruota il suo riferimento di Frenet. La rotazione totale del riferimento di Frenet è la combinazione delle rotazioni di ciascuno dei tre vettori di Frenet: Ciascun vettore di Frenet ruota attorno a un'origine che è il centro del corpo rigido (punto qualsiasi all'interno del corpo rigido denominato centro). La velocità areolare del vettore tangente è: Similmente Si applichi ora il teorema di Frenet-Serret per determinare le componenti della velocità areolare: cosicché come è stato asserito. Il vettore di Darboux fornisce un modo conciso per interpretare la curvatura κ e la torsione τ in modo geometrico: la curvatura è la misura della rotazione del riferimento di Frenet attorno al versore della binormale, mentre la torsione è la misura della rotazione del riferimento di Frenet attorno al versore della tangente. Frenet attorno al versore della tangente.
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, Nella geometria differenziale, specialment … Nella geometria differenziale, specialmente nella teoria delle curve nello spazio, il vettore di Darboux è il vettore velocità angolare nel sistema di riferimento di Frenet di una curva nello spazio. Prende il nome dal suo ideatore Gaston Darboux. È pure chiamato vettore di momento angolare perché è direttamente proporzionale al momento angolare. In termini delle formule di Frenet-Serret, il vettore ω di Darboux può esprimersi con e possiede le seguenti proprietà di simmetria che possono venire estrapolate dalla equazione (1) per mezzo del teorema di Frenet-Serret (o viceversa). Similmentedi Frenet-Serret (o viceversa). Similmente
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Darboux vector
, Vettore di Darboux
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