| http://dbpedia.org/ontology/abstract
|
У математиці, плоска кубічна крива — це ал … У математиці, плоска кубічна крива — це алгебраїчна крива С, задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини. У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні беруть z = 1. Тут F є ненульовою лінійною комбінацією одночленів третього ступеня x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. Таких одночленів десять, тому кубічні криві утворюють проєктивний простір розмірності 9, відносно будь-якого даного поля К. Кожна точка P повинна належить кривій С, тобто задовольняти рівняння F. Таким чином, ми можемо знайти кубічну криву, яка проходить через будь-які дев'ять заданих точок. Вона може бути виродженою, і може бути не єдиною, але якщо точки знаходяться в загальному положенні, то крива буде унікальною і невиродженою. Це так само, як і те, що дві точки визначають пряму або . Якщо дві криві проходять через задану множину точок, то вони задають сімейство кубічних кривих, а точки мають додаткові властивості; див. . Кубічна крива може мати сингулярну точку, в цьому випадку вона має параметризацію для проєктивної прямої. У випадку несингулярний кубічної кривої, у неї існує дев'ять точок перегину, над алгебраїчно замкнутим полем, такими як комплексні числа. Це можна показати, якщо взяти однорідну версію матриці Гессе, яка визначає іншу кубічну криву, і перетнути її з C; точки перетину потім підраховують по теоремі Безу. Проте, тільки три з цих точок можуть бути дійсними, тому що інші не можуть розглядатися в дійсній проєктивній площині. Дев'ять точок перегину несингулярної кубічної кривої мають властивість, що кожна лінія, що проходить через дві з них містить рівно три точки перегину. Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, нічим не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсних точок перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точку перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках. Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем К, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел. Сингулярні точки нескоротної плоскої кубічної кривої достатньо обмежені: одна подвійна точка, або один злам. Скоротна плоска кубічна крива це або конічний переріз та пряма, або три прямих, і, відповідно, мають дві подвійні точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі), у випадку трьох прямих.онкурентні прямі), у випадку трьох прямих.
, En mathématiques, une courbe cubique est u … En mathématiques, une courbe cubique est une courbe algébrique plane définie par une équation du troisième degré en les coordonnées homogènes [X:Y:Z] du plan projectif ; ou bien c'est la version non homogène pour l'espace affine obtenue en faisant Z = 1 dans une telle équation. Ici F est une combinaison linéaire non nulle des monômes de degré trois X3, X2Y, ..., Z3 en X,Y et Z. Ceux-ci sont au nombre de dix ; donc les courbes cubiques forment un espace projectif de dimension 9, au-dessus de n'importe quel corps commutatif K donné. Chaque point P impose une seule condition linéaire sur F, si nous demandons à C de passer par P. Donc nous pouvons trouver une courbe cubique passant par n'importe quelle famille de neuf points donnée à l'avance. Si on cherche les cubiques qui passent par 8points donnés, on obtient pour les coefficients de l'équation d'une telle cubiqueun système linéaire homogène de 8 équations à10 inconnues, dont le rang est 8 aumaximum. Si ces points sont « en position générale » (la géométrie algébriqueest faite entre autres pour comprendre ce que cela veut dire)le rang est exactement 8. Si alors et sont les équations de deux d'entre elles, les autres sont de la forme. Elles passent toutespar les points d'intersection de ces deux cubiques ; il y a 9 tels pointsd'après le théorème de Bézout. Nous venons de montrer quetoutes les cubiques planes qui passent par 8points « en position générale » passent par un neuvième point.Ce résultat sert notamment à prouver l'associativité de la loi de groupe définie sur les cubiques non singulières ;voir l'article « Courbe elliptique » : il est également lié à la résolution du paradoxe de Cramer. Une courbe cubique peut avoir un point singulier ; dans ce cas elle a une paramétrisation par une droite projective. Sinon une courbe cubique non singulière est connue pour avoir neuf points d'inflexion au-dessus d'un corps algébriquement clos tel que les nombres complexes. Cela peut être démontré en prenant la version homogène de la matrice hessienne définie une cubique, et en intersectant son déterminant avec C ; les intersections sont alors comptées par le théorème de Bézout. Ces points ne peuvent cependant être tous réels, de sorte qu'ils ne peuvent pas être vus dans le plan projectif réel en traçant la courbe. Les points réels des courbes cubiques furent étudiés par Newton ; ils forment un ou deux ovales. Une cubique non singulière définit une courbe elliptique, sur tout corps K pour lequel elle a un point à coordonnées dans K (point K-rationnel). Les courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes sont maintenant souvent étudiées en utilisant les fonctions elliptiques de Weierstrass. Ces fonctions elliptiques (pour un réseau donné) forment un corps isomorphe au corps des fonctions rationnelles d'une cubique d'équation affine . La possibilité pour une cubique sur K d'avoir une telle forme de Weierstrass dépend de l'existence d'un point K-rationnel, qui sert comme point à l'infini dans la forme de Weierstrass. Par exemple, il y a plusieurs courbes cubiques qui n'ont pas de tel point, quand K est le corps des nombres rationnels.and K est le corps des nombres rationnels.
, Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurv … Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurva merupakan sebuah didefinisikan oleh sebuah persamaan kubik berlaku untuk untuk , atau versi inhomogen untuk ditentukan dengan menetapkan seperti di sebuah persamaan. Disini merupakan kombinasi linear taknol dari tiga derajat. Ini ada sepuluh dalam bilangan; oleh karena itu kurva kubik membentuk sebuah dimensi 9, pada setiap diberikan medan . Setiap titik memaksa sebuah syarat linear tunggal pada , jika kita menanyakan bahwa melalui . Oleh karena itu, kita dapat menemukan suatu kurav kubik memlalui setiap sembilan titik yang diberikan, yang dapat merosot, dan tidak dapat menjadi tunggal, tetapi akan menjadi tunggal dan takmerosot jika titiknya ada dalam ; bandingkan dua titik menentukan sebuah garis dan bagaimana . Jika dua kubik melalui sebuah himpunan sembilan titik yang diberikan, maka faktanya sebuah pensil kubik tentu saja, dan titik-titiknya memenuhi sifat-sifat tambahan; lihat . Sebuah kurva kubik dapat memiliki sebuah , yang mana kasusnya memiliki sebuah parametrisasi dalam istilah . Jika tidak sebuah kurva kubik taksingular dikenal memiliki sembilan titik belok, pada sebuah medan seperti bilangan kompleks. Ini dapat ditunjukkan dengan mengambil versi homogen dari matriks Hesse, yang mendefinisikan sebuah kubik lagi, dan memotongnya dengan , perpotongannya kemudain dicacahkan oleh . Namun, hanya tiga dari titik-titik ini dapat menjadi real, jadi abhwa yang lain tidak dapat dilihat dalam bidang proyektif real dengan menggambar kurva. Kesembilan titik belok dari sebuah kubik taksingular memilki sifat yang setiap garis lewat melalui dua dari mereka berisi tepatnya tiga titik belok. Titik-titik real kurva kubik dipelajari oleh Isaac Newton. Titik-titik real sebuah kubik proyektif taksingular jatuh ke satu atau dua 'oval'. Salah satu dari oval-oval ini melintasi setiap garis proyektif real, dan dengan demikian tidak pernah dibatasi ketika kubik digambar dalam bidang Euklides; ini muncul sebagai satu atau tiga cabang-cabang yang takhingga, berisi tiga titik belok real. Oval lainnya, jik ada, tidak berisi setiap titik belok dan muncul juga sebagai sebuah oval atau sebagai dua cabang-cabang yang takhingga. Seperti untuk irisan kerucut. sebuah garis memotong oval ini, paling banyak, dua titik. Sebuah kubik bidang taksingular mendefiniskan sebuah kurva eliptik, pada setiap medan untuk yang memiliki sebuah titik yang didefinisikan. Kurva eliptik sekarang biasanay dipelajari dalam beberapa ragam , mendefinisikan sebuah dari medan fungsi rasional dibuat dengan mengekstrak akar kuadrat sebuah kubik. Ini dilakukan bergantung pada yang memiliki sebuah , yang menyediakan sebagai dalam bentuk Weierstrass. Terdapat banyak kurva kubik yang tidak memiliki titik tersebut, sebagai contoh ketika merupakan medan bilangan rasional. Titik-titik singular sebuah kurva kubik bidang takreduksi cukup terbatas: satu , atau sebuah . Sebuah kurva kubik bidang reduksi merupakan baik sebuah kerucut dan sebuah garis atau tiga garis, dan oleh sebab itu memiliki dua titik ganda atau sebuah (jika sebuah kerucut dan sebuah garis), atau samapi tiga titik ganda atau sebuah titik rangkap tiga tunggal jika tiga garis.itik rangkap tiga tunggal jika tiga garis.
, Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическ … Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1. Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности.а в пространстве произвольной размерности.
, In mathematics, a cubic plane curve is a p … In mathematics, a cubic plane curve is a plane algebraic curve C defined by a cubic equation applied to homogeneous coordinates for the projective plane; or the inhomogeneous version for the affine space determined by setting z = 1 in such an equation. Here F is a non-zero linear combination of the third-degree monomials These are ten in number; therefore the cubic curves form a projective space of dimension 9, over any given field K. Each point P imposes a single linear condition on F, if we ask that C pass through P. Therefore, we can find some cubic curve through any nine given points, which may be degenerate, and may not be unique, but will be unique and non-degenerate if the points are in general position; compare to two points determining a line and how five points determine a conic. If two cubics pass through a given set of nine points, then in fact a pencil of cubics does, and the points satisfy additional properties; see Cayley–Bacharach theorem. A cubic curve may have a singular point, in which case it has a parametrization in terms of a projective line. Otherwise a non-singular cubic curve is known to have nine points of inflection, over an algebraically closed field such as the complex numbers. This can be shown by taking the homogeneous version of the Hessian matrix, which defines again a cubic, and intersecting it with C; the intersections are then counted by Bézout's theorem. However, only three of these points may be real, so that the others cannot be seen in the real projective plane by drawing the curve. The nine inflection points of a non-singular cubic have the property that every line passing through two of them contains exactly three inflection points. The real points of cubic curves were studied by Isaac Newton. The real points of a non-singular projective cubic fall into one or two 'ovals'. One of these ovals crosses every real projective line, and thus is never bounded when the cubic is drawn in the Euclidean plane; it appears as one or three infinite branches, containing the three real inflection points. The other oval, if it exists, does not contain any real inflection point and appears either as an oval or as two infinite branches. Like for conic sections, a line cuts this oval at, at most, two points. A non-singular plane cubic defines an elliptic curve, over any field K for which it has a point defined. Elliptic curves are now normally studied in some variant of Weierstrass's elliptic functions, defining a quadratic extension of the field of rational functions made by extracting the square root of a cubic. This does depend on having a K-rational point, which serves as the point at infinity in Weierstrass form. There are many cubic curves that have no such point, for example when K is the rational number field. The singular points of an irreducible plane cubic curve are quite limited: one double point, or one cusp. A reducible plane cubic curve is either a conic and a line or three lines, and accordingly have two double points or a tacnode (if a conic and a line), or up to three double points or a single triple point (concurrent lines) if three lines.e point (concurrent lines) if three lines.
, En matemáticas, una curva cúbica plana es … En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. Se tiene un total de diez monomios; y por lo tanto, las curvas cúbicas forman un espacio proyectivo de dimensión 9 sobre cualquier campo numérico dado K. Cada punto P impone una condición lineal única en F, si se pide que C pase a través de P. Por lo tanto, se puede encontrar alguna curva cúbica a través de un conjunto cualquiera de nueve puntos dados, que pueden ser degenerados y pueden no ser únicos, pero serán únicos y no degenerados si los puntos están en posición general. Esta propiedad se puede comparar con los dos puntos que determinan una recta y con los cinco puntos que determinan una cónica. Si dos cúbicas pasan por un conjunto dado de nueve puntos, entonces, de hecho, un haz de cúbicas también lo hace, y los puntos satisfacen propiedades adicionales; tal como establece el teorema de Cayley-Bacharach. Una curva cúbica puede tener un punto singular, en cuyo caso tiene una parametrización en términos de una recta proyectiva. De lo contrario, se sabe que una curva cúbica no singular tiene nueve puntos de inflexión, sobre un campo cerrado algebraicamente como los números complejos. Esto se puede demostrar tomando la versión homogénea de la matriz hessiana, que define nuevamente una cúbica, y se cruza con C. Las intersecciones se contabilizan mediante el teorema de Bézout. Sin embargo, solo tres de estos puntos pueden ser reales, de modo que los otros no pueden verse en el plano proyectivo real dibujando la curva. Los nueve puntos de inflexión de una cúbica no singular tienen la propiedad de que cada recta que pasa por dos de ellos contiene exactamente tres puntos de inflexión. Isaac Newton estudió los puntos reales de las curvas cúbicas. Los puntos reales de una cúbica proyectiva no singular se localizan en uno o dos 'óvalos'. Uno de estos óvalos cruza cada recta proyectiva real y, por lo tanto, nunca está delimitado cuando la cúbica se dibuja en el plano euclidiano, y aparece como una o tres ramas infinitas, que contienen los tres puntos de inflexión reales. El otro óvalo, si existe, no contiene ningún punto de inflexión real y aparece como un óvalo o como dos ramas infinitas. Al igual que con las secciones cónicas, una recta corta este óvalo en, como máximo, dos puntos. Una cúbica plana no singular define una curva elíptica, sobre cualquier campo K para el que tiene un punto definido. Las curvas elípticas ahora se estudian normalmente en alguna variante de las funciones elípticas de Weierstrass, definiendo una extensión cuadrática del campo de funciones racionales realizado mediante la extracción de la raíz cuadrada de una cúbica. Esto depende de tener un K-, que sirve como el punto del infinito en la forma de Weierstrass. Existen muchas curvas cúbicas que no tienen este punto, por ejemplo, cuando K es el campo de los números racionales. Los puntos singulares de una curva cúbica plana irreducible son bastante limitados: un punto doble o una cúspide. Una curva cúbica plana reducible es bien una cónica y una recta, o bien tres rectas, y en consecuencia, tiene dos puntos dobles o un tacnodo (si es una cónica y una recta), o hasta tres puntos dobles o un punto triple simple (líneas concurrentes) si se trata de tres rectas. concurrentes) si se trata de tres rectas.
, 3차 곡선(三次曲線, cubic plane curve)은 차수가 3인 대수 곡선인 평면곡선이다. 3차함수나 타원 곡선이 유명한 3차 곡선이다.
, 三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲 … 三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C F(x, y, z) = 0 針對射影平面會使用齐次坐标x:y:z，或是在仿射空间中的非齊次版本，會令上述方程中的z = 1。F是以下三次的非零線性組合 x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. 共有十個單項，因此三次曲线會在給定的任意域K中形成九維的射影空間。。若指定九個任意的點，通過其上的三次曲线可能會退化，也可能不唯一，不過若這九個點是在一般位置上，通過其上的三次曲线唯一，且不會退化，就像二點決定一直線，以及一樣，若二條圓錐曲線通過相同的九個點，這些點會滿足一些特殊的條件，可參考。 牛頓曾研究三次曲線中的實數點。非奇異的投影三次曲線會落在一個或二個「卵形」內。其中一個卵形會和每一個實數投影曲線相交，因此若畫在二维空间中，此部份是沒有上界的，會有一個或三個一直延伸到無限大的分枝，其中也會有三個實數的反曲點。另一個卵形若存在，不會包括任何的反曲點，會是一個卵形或是有二個延伸到無限大分枝的圖形。就像圆锥曲线一樣，一條直線和這個卵形最多只會有二個交點。 任意的域K上，非奇異的投影三次曲線可定義椭圆曲线現今對椭圆曲线的研究主要是以魏爾斯特拉斯橢圓函數的變體的主，可以定義一個有理函數域的，做法是將三次曲線的平方根取出。這也和是否存在K-有關，在魏爾斯特拉斯型式下是无穷远点，有許多的三次曲線沒有這様的點，例如像K是有理数域的情形。 不可化簡三次曲線的奇異點只有幾種：一個二重點或是一個尖點。可化簡三次曲線可能是一個圓錐曲線和一條直線，或是三條直線，可能會有二個二重點或是一個（一個圓錐曲線和一條直線的情形），若是三條直線，也可能有三個二重點，或是一個三重點（）。個圓錐曲線和一條直線的情形），若是三條直線，也可能有三個二重點，或是一個三重點（）。
|
| rdfs:comment |
En mathématiques, une courbe cubique est u … En mathématiques, une courbe cubique est une courbe algébrique plane définie par une équation du troisième degré en les coordonnées homogènes [X:Y:Z] du plan projectif ; ou bien c'est la version non homogène pour l'espace affine obtenue en faisant Z = 1 dans une telle équation. Ici F est une combinaison linéaire non nulle des monômes de degré trois X3, X2Y, ..., Z3 Si alors et sont les équations de deux d'entre elles, les autres sont de la forme. Elles passent toutespar les points d'intersection de ces deux cubiques ; il y a 9 tels pointsd'après le théorème de Bézout. tels pointsd'après le théorème de Bézout.
, У математиці, плоска кубічна крива — це ал … У математиці, плоска кубічна крива — це алгебраїчна крива С, задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини. У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні беруть z = 1. Тут F є ненульовою лінійною комбінацією одночленів третього ступеня x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.
, Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическ … Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1. Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности.а в пространстве произвольной размерности.
, Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurv … Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurva merupakan sebuah didefinisikan oleh sebuah persamaan kubik berlaku untuk untuk , atau versi inhomogen untuk ditentukan dengan menetapkan seperti di sebuah persamaan. Disini merupakan kombinasi linear taknol dari tiga derajat.kombinasi linear taknol dari tiga derajat.
, En matemáticas, una curva cúbica plana es … En matemáticas, una curva cúbica plana es una curva algebraica bidimensional C definida por una ecuación cúbica aplicada sobre un sistema de coordenadas homogéneas x:y:z para el plano proyectivo; o la versión no homogénea para el espacio afín, determinada mediante el establecimiento de la condición de que z = 1 en dicha ecuación. Aquí F es una combinación lineal distinta de cero de los monomios de tercer grado x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.
, 3차 곡선(三次曲線, cubic plane curve)은 차수가 3인 대수 곡선인 평면곡선이다. 3차함수나 타원 곡선이 유명한 3차 곡선이다.
, In mathematics, a cubic plane curve is a p … In mathematics, a cubic plane curve is a plane algebraic curve C defined by a cubic equation applied to homogeneous coordinates for the projective plane; or the inhomogeneous version for the affine space determined by setting z = 1 in such an equation. Here F is a non-zero linear combination of the third-degree monomials combination of the third-degree monomials
, 三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲 … 三次平面曲线（cubic plane curve）是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C F(x, y, z) = 0 針對射影平面會使用齐次坐标x:y:z，或是在仿射空间中的非齊次版本，會令上述方程中的z = 1。F是以下三次的非零線性組合 x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. 共有十個單項，因此三次曲线會在給定的任意域K中形成九維的射影空間。。若指定九個任意的點，通過其上的三次曲线可能會退化，也可能不唯一，不過若這九個點是在一般位置上，通過其上的三次曲线唯一，且不會退化，就像二點決定一直線，以及一樣，若二條圓錐曲線通過相同的九個點，這些點會滿足一些特殊的條件，可參考。 牛頓曾研究三次曲線中的實數點。非奇異的投影三次曲線會落在一個或二個「卵形」內。其中一個卵形會和每一個實數投影曲線相交，因此若畫在二维空间中，此部份是沒有上界的，會有一個或三個一直延伸到無限大的分枝，其中也會有三個實數的反曲點。另一個卵形若存在，不會包括任何的反曲點，會是一個卵形或是有二個延伸到無限大分枝的圖形。就像圆锥曲线一樣，一條直線和這個卵形最多只會有二個交點。二個延伸到無限大分枝的圖形。就像圆锥曲线一樣，一條直線和這個卵形最多只會有二個交點。
|
